Первый рабочий изготавливает 40 изделий второго сорта а второй 30


Задача 3

1.

В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены две камеры. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

2.

В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включено не более одной камеры. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

3.

На железобетонном заводе изготавливают панели, 90 % из которых – высшего сорта. Какова вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей хотя бы одна панель будет высшего сорта? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

4.

На железобетонном заводе изготавливают панели, 90 % из которых – высшего сорта. Какова вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей будет не более одной панели высшего сорта? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

5.

В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока для них равны соответственно 0,3; 0,2; 0,4. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя не менее двух радиоламп. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

6.

В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока для них равны соответственно 0,3; 0,2; 0,4. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдет из строя хотя бы одна радиолампа? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

7.

При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен не менее чем двумя станциями. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

8.

При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны: 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен двумя станциями. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

9.

Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Какова вероятность того, что будут ровно два подшипника высшего качества? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

10.

Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Какова вероятность того, что будет хотя бы один подшипник высшего качества? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

11.

Первый станок-автомат дает 10 % брака, второй – 15 %, а третий – 20 %. Случайным образом отобрали по одной детали с каждого станка. Какова вероятность того, что стандартной окажется ровно одна деталь? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

12.

Первый станок-автомат дает 10 % брака, второй – 15 %, а третий – 20 %. Случайным образом отобрали по одной детали с каждого станка. Какова вероятность того, что стандартной окажется хотя бы одна деталь? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

13.

В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включены ровно два электродвигателя. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

14.

В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включен хотя бы один электродвигатель. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

15.

На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеется три препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6. Найти вероятность успешного преодоления не менее двух препятствий. Ответ записать с одним знаком после запятой без округления.

16.

На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеется три препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6. Найти вероятность успешного преодоления двух препятствий. Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления.

17.

Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,7, третий –0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст два экзамена. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

18.

Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст не менее двух экзаменов. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

19.

Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями 0,8; 0,7; 0,5. Какова вероятность обнаружения самолета двумя радиолокаторами? Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления.

20.

Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями 0,8; 0,7; 0,5. Какова вероятность обнаружения самолета хотя бы одним радиолокатором? Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления.

21.

Три команды спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности выигрышей первой, второй и третьей команд из общества А у соответствующих команд из общества В равны 0,7; 0,6; 0,4. Команды провели по одной встрече. Какова вероятность того, что команды общества А выиграют две встречи? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

22.

Три команды спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности выигрышей первой, второй и третьей команд из общества А у соответствующих команд из общества В равны 0,7; 0,6; 0,4. Команды провели по одной встрече. Какова вероятность того, что команды общества А выиграют хотя бы две встречи? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

23.

Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй – 0,2 и третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены выйдут из строя не менее двух станков. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

24.

Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй – 0,2 и третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены выйдут из строя ровно два станка. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

25.

Три автомата изготавливают детали. Вероятность того, что деталь, изготовленная первым автоматом, высшего качества, равна 0,9, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что из взятых деталей две высшего качества. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

26.

Три автомата изготавливают детали. Вероятность того, что деталь, изготовленная первым автоматом, – высшего качества, равна 0,9, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что из взятых деталей хотя бы одна высшего качества. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

27.

Инженер выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками. Вероятности того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем справочниках, равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что интересующие инженера данные содержатся только в одном справочнике. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

28.

Инженер выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками. Вероятности того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем справочниках, равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что интересующие инженера данные содержатся только в двух справочниках. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

29.

Для аварийной сигнализации установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,5. Найти вероятность того, что при аварии сработают два сигнализатора. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

30.

Для аварийной сигнализации установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,5. Найти вероятность того, что при аварии не сработает ни один сигнализатор. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

31.

Вычислительная машина состоит из четырех блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого блока равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6, четвертого – 0,4. Найти вероятность того, что в течение времени Т проработают три блока. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

32.

Вычислительная машина состоит из четырех блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого блока равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6, четвертого – 0,4. Найти вероятность того, что в течение времени Т проработают менее трех блоков. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

33.

Стрелок произвел четыре выстрела по удаляющейся от него цели, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена три раза. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

34.

Стрелок произвел четыре выстрела по удаляющейся от него цели, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее трех раз. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

35.

Первый рабочий изготавливает 40 % изделий второго сорта, а второй – 30 %. У каждого рабочего взято наугад по два изделия. Какова вероятность того, что ровно три изделия второго сорта. Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления.

36.

Первый рабочий изготавливает 40 % изделий второго сорта, а второй – 30 %. У каждого рабочего взято наугад по два изделия. Какова вероятность того, что не менее трех изделий второго сорта. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

37.

Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0,2, второго – 0,3. Имеется по два билета каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграют не менее трех билетов. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

38.

Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0,2, второго – 0,3. Имеется по два билета каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграют ровно три билета. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

39.

Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,7. Оба стрелка сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель поражена хотя бы один раз? Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления.

40.

Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,7. Оба стрелка сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель поражена один раз? Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления.

Соседние файлы в папке ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

studfiles.net

3114

6.В урне а белых иb черных шаров. Из урны вынимают два шара. Найти вероятности следующих событий:

А – оба шара белые;В – оба шара черные;

С – шары разного цвета.

7.Та же задача, но после вынимания и отмечания цвета первый шар возвращается в урну.

8.Из ящика, в котором находится 20 стандартных и 4 нестандартных детали, наугад взято 3 детали. Найти вероятности следующих событий:

А – все детали стандартные;В – все детали нестандартные;

С – две стандартные и одна нестандартная;

D – хотя бы одна нестандартная;

Ответ:P(A)= 0,563 ;P(B)= 0,002 ;P(C)= 0,375,P(D)= 0,437 .

9.Из колоды карт (36 листов) случайным образом отбирают 3 карты. Найти вероятность следующих событий:

А – все карты одной масти;В – все карты разной масти;С – хотя бы один туз;

D – не менее2-хкоролей;

Ответ:P(A)= 1358 347 = 0,047 ;P(В)= 12735 1834 = 0,408 ;

P(С)= 1− 364 353 342 = 0,999 ,P(С)= 364 353 3234 3+ 364 353 342 = 0,027 .

10. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течении времениТ безотказно соответственно с вероятностями 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятности того, что за время Т

1)выйдет из строя только первый элемент;

2)выйдет из строя только один элемент;

3)выйдет из строя хотя бы один элемент;

4)только 2-ойэлемент не откажет;

5)только один элемент не откажет;

6)не менее 2-хэлементов не откажут.

Ответ: 1) 0,216; 2) 0,398; 3) 0,496; 4)0,024; 5) 0,092; 6) 0,902.

11. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча; после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется неигранных мячей?

21

Решение. СобытиеА может произойти единственным способом: первый раз, второй и третий из коробки будут вынуты неигранные мячи. Первый раз это обеспечено; поэтому

P(A) = 1 96 85 74 93 82 17= 17645 .

Работа 2

Задание 1. В урне содержитсяК черных иH белых шаров. Случайным образом вынимаютМ шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) Р белых шаров; б) меньше, чемР, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров К, Н, М иР по вариантам приведены в табл. 4.

Таблица 4

Вар.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

K

5

5

6

6

7

4

8

6

4

5

7

8

6

4

8

5

H

6

6

5

5

4

5

6

7

7

6

4

6

5

6

6

6

M

4

5

4

5

4

4

5

4

4

5

4

4

4

4

5

5

P

2

3

2

3

2

2

3

4

2

3

2

3

3

3

2

4

Вар.

16

17

18

19

20

21

22

23

24

26

26

27

28

29

30

K

7

5

6

5

6

6

6

8

6

5

6

5

6

6

4

H

4

7

5

7

7

8

5

6

7

7

7

7

8

7

7

M

5

4

5

5

5

5

5

5

4

4

6

5

5

5

4

P

3

3

2

4

3

4

4

3

3

2

3

3

3

2

2

Задание 2. Три стрелка, независимо друг от друга делают по выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого, второго и третьего

стрелков соответственно равны: P1 = 0,2 +100V ,P2 = 0,4 +100V ,P3 = 0,6 +100V .

Найти вероятности следующих событий:

А – только второй стрелок попадет в мишень;В – только третий стрелок промахнется;С – только один стрелок попадет в мишень;D – хотя бы один стрелок попадет;

E – хотя бы один промахнется;

F– не более 2-хстрелков попадут;

G– не менее 2-хстрелков промахнутся.

Задание 3.

1. Вероятность того, что три поезда определенных направлений прибудут на станцию строго по расписанию, соответственно равны: 0,9; 0,95 и

22

0,85. Найти вероятность того, что: а) все поезда прибудут по расписанию; б) два поезда прибудут по расписанию; в) хотя бы один поезд не прибудет по расписанию.

2.Для прохождения производственной практики группе студентов в количестве 25 человек было предоставлено: 9 мест в Самару, 7 мест в Кинель, 4 места в Рузаевку, остальные в Ульяновск. Какова вероятность того, что три определённых студента попадут на практику: а) в город Самару; б) в один из предложенных городов?

3.На тепловой электростанции 12 сменных инженеров, среди которых 5 женщин. В смену занято 4 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется: а) не менее двух; б) только один.

4.В лотерее из 100 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди первых пяти наугад выбранных билетов выигрышными окажутся: а) два билета; б) не более двух билетов?

5.В группе 25 студентов, из них 10 юношей и 15 девушек. Какова вероятность того, что из вызванных наудачу трех студентов: а) все три девушки; б) первые две девушки, третий - юноша; в) все трое юноши?

6.Вероятность безотказной работы автомобиля равна 0,9. Автомобиль перед выходом на линию осматривается двумя механиками. Вероятность того, что первый механик обнаружит неисправность в автомобиле, равна 0,8, а второй - 0,9. Если хотя бы один механик обнаружит неисправность, то автомобиль отправляется на ремонт. Найти вероятность того, что: а) автомобиль будет выпущен на линию; б) автомобиль не будет выпущен на линию.

7.Вероятность одного попадания в цель при одновременном залпе из двух орудий равно 0,44. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым орудием, если для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

8.Из 40 деталей в ящике 5 бракованных. Какова вероятность того, что взятые одновременно две детали не будут бракованными?

9.В коробке 12 карандашей трех цветов, по четыре карандаша каждого цвета. Наудачу вынимают три карандаша. Найти вероятность того, что все карандаши окажутся разного цвета. Решить задачу при условии: а) карандаши возвращают в коробку; б) карандаши не возвращают в коробку.

10.Из урны, содержащей четыре красных и шесть черных шаров, вынимают два шара (без возвращения первого). Какова вероятность того, что будут вынуты: а) два шара черного цвета; б) красный и черный в любой последовательности; в) второй шар будет черным; г) оба шара одного цвета?

11.Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1. Приобретено три билета. Какова вероятность выиграть: а) по одному из них; б) хотя бы по одному из них?

12.Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия равна 0,6. Производится по одному выстрелу одновременно из трех орудий. Цель будет поражена, если в нее попадут не менее двух орудий. Найти вероятность: а) поражения цели; б) промаха одним или двумя орудиями.

23

13.Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии - 0,2, на втором - 0,35, на третьем - 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на одном предприятии.

14.В денежно-вещевойлотерее на каждые 1000 билетов приходится 12 денежных и 8 вещевых выигрышей. Какова вероятность выигрыша хотя бы на один из трех приобретенных билетов?

15.В урне 10 красных, 5 зеленых и 3 черных шара. Определить вероятность того, что взятые наудачу два шара будут: а) одного цвета; б) разных цветов.

16.На базу поступило 40 ящиков овощей, из них 30 – первого сорта. Наудачу для проверки берут два ящика. Какова вероятность, что а) оба содержат овощи первого сорта; б) разного сорта; в) одного сорта:

17.Три студента сдают экзамен. Вероятность того, студент сдаст экзамен на «отлично», равна для первого 0,7, для второго - 0,6, для третьего - 0,2. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан на «отлично»: а) только одним студентом; б) двумя студентами; в) хотя бы одним; г) ни одним ?

18.Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй – 12. Каждому студенту задают по одному вопросу. Определить вероятность того, что: а) оба студента правильно ответят на вопрос; б) хотя бы один ответит верно; в) правильно ответит только первый студент.

19.В первой бригаде 6 тракторов, во второй - 9. В каждой бригаде один трактор требует ремонта. Из каждой бригады наудачу выбирают по одному трактору. Какова вероятность того, что: а) оба трактора исправны; б) один требует ремонта; в) трактор из второй бригады исправен.

20.Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого 0,75; для второго 0,9, третьего 0,8. Найти вероятность того, что: а) два стрелка попадают в цель; б) только один; в) хотя бы один стрелок попадает в цель.

21.Вероятность того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором и третьем ящике соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что деталь содержится: а) не более чем в одном ящике; б) не менее чем в двух.

22.Производственная фирма имеет три склада. Вероятности того, что определенный товар имеется в наличии на первом, втором, третьем складе равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что товар имеется в наличии: а) хотя бы на одном складе; б) не менее, чем на двух складах.

23.Вероятность того, что нужный товар имеется в первом, втором, или третьем магазине, равна соответственно 0,9; 0,8; 0,6.Найти вероятность того, что нужный товар имеется: а) не менее, чем в двух магазинах; б) не более, чем в двух магазинах.

24.В двух ящиках находятся детали: в первом 10 штук, из них 4 стандартных, во втором -12деталей, из них 5 стандартных. Из каждого ящика

24

наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность следующих событий: а) обе детали нестандартные; б) одна деталь стандартная, а другая нестандартная.

25.Вероятности того, что частный предприниматель получит ссуду в первом, втором, третьем банке, равны соответственно 0,4; 0,5; 0,6. Предприниматель последовательно обращается во все три банка, начиная с первого. В следующий банк предприниматель обращается лишь в случае отказа

впредыдущем банке. Найти вероятность того, что предприниматель получит ссуду.

26.Сброшены три бомбы с вероятностью попадания соответственно 0,7; 0,4; 0,35. Найти вероятность того, что: а) в цель попадает только одна бомба; б) цель поражена, если для этого необходимо не менее двух бомб.

27.Вероятность того, что нужный товар имеется в наличии только в одном из двух магазинов, равна 0,26. Найти вероятность наличия товара во втором магазине, если вероятность наличия товара в первом магазине равна 0,9.

28.Ha одной базе имеется 100 компьютеров, 12 из которых с дефектом. На второй 90 компьютеров, 9 из которых с дефектом. На третьей 80 компьютеров, 10 из которых с дефектом. Фирма приобрела по одному компьютеру на каждой базе. Найти вероятность того, что: а) все компьютеры без дефекта; б) хотя бы один с дефектом.

29.Приобретено два изделия, изготовленные на различных предприятиях. На первом предприятии брак среди поступающих в продажу изделий составляет 5%, а на втором 3%. Найти вероятность событий: а) только одно изделие бракованное; б) оба изделия бракованные; в) хотя бы одно изделие не является бракованным.

30.Вероятность выхода из строя одного из трёх блоков агрегата за определённый промежуток времени, как показали наблюдения, составляет в среднем 0,05. Найти вероятность выхода из строя за указанный промежуток времени: а) одного из блоков; б) двух блоков; в) хотя бы одного блока. Работа всех блоков независима в совокупности.

Задание 4.

1.В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) две камеры; б) не более одной камеры; в) три камеры. (Ответ: а) 0,398; б) 0,098; в) 0,504.)

2.На железобетонном заводе изготавливают, панели, 90 % из которых - высшего сорта. Какова вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей высшего сорта будут: а) три панели; б) хотя бы одна панель; в) не более одной панели? (Ответ: а)0,729; б) 0,999; в) 0,271.)

3.В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока для них равны соответственно 0,3; 0,2; 0,4. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя: а) не менее двух радиоламп; б) ни одной радиолампы; в) хотя бы одна радиолампа? (Ответ: а) 0,212; б) 0,336; в) 0,664.)

4.В первом ящике 20 деталей, 15 из них - стандартные, во втором ящике

25

30 деталей, 25 из них - стандартные. Из каждого ящика наугад берут по одной детали. Какова вероятность того, что: а) обе детали будут стандартными; б) хотя бы одна деталь стандартная; в) обе детали нестандартные? (Ответ: а) 0,625; б) 0,9583; в) 0,04266.)

5.Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым - 0,7. Оба стрелка сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель поражена: а) хотя бы один раз; б) два раза; в) один раз? (Ответ: а) 0,97; б) 0,63;

в) 0,34.)

6.При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны: 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль: а) будет обнаружен тремя станциями; б) будет обнаружен не менее чем двумя станциями; в) не будет обнаружен. (Ответ: а) 0,504; б) 0,902; в) 0,006.)

7.Вычислительная машина состоит из четырех блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого блока равна 0,4, второго - 0,5, третьего - 0,6, четвертого - 0,4. Найти вероятность того, что в течение времени

Тпроработают: а) все четыре блока; б) три блока; в) менее трех блоков. (Ответ: а) 0,048; б) 0,224; в) 0,728.)

8.Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, - высшего качества, равна 0,7, вторым - 0,8, третьим - 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Какова вероятность того, что высшего качества будут: а) все подшипники; б) два подшипника; в) хотя бы один подшипник? (Ответ: а) 0,336; б) 0,452; в) 0,976.)

9.На сборку поступают детали с трех станков с ЧПУ. Первый станок дает 20 %, второй - 30 %, третий - 50 % однотипных деталей, поступающих на сборку. Найти вероятность того, что из трех наугад взятых деталей: а) три с разных станков; б) три с третьего станка; в) две с третьего станка. (Ответ: а) 0,03; б) 0,125; в) 0,125.)

10.Первый станок-автоматдает 1% брака, второй - 1,5 %, а третий - 2 %. Случайным образом отобрали по одной летали с каждого станка. Какова вероятность того, что стандартными окажутся: а) три детали; б) две детали; в)

хотя бы одна деталь? (Ответ: а) 0,9556; б) 0,0437; в) 0,999997.)

11.В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна: 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включены: а) два электродвигателя; б) хотя бы один электродвигатель; в) три электродвигателя. (Ответ: а) 0,092; б) 0,496; в) 0,006.)

12.На участке кросса для мотоциклиста-гонщикаимеется три препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4, второго - 0,5, третьего - 0,6. Найти вероятность успешного преодоления: а) трех препятствий; б) не менее двух препятствий; в) двух препятствий. (Ответ:

а) 0,12; б) 0,5; в) 0,38.)

13.Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй - 0,7, третий - 0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст: а) два

26

экзамена; б) не менее двух экзаменов; в) не более двух экзаменов. (Ответ: а) 0,456; б) 0,834; в) 0,622.)

14.Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями 0,8; 0,7; 0,5. Какова вероятность обнаружения самолета: а) одним радиолокатором; б) двумя радиолокаторами; в) хотя бы одним радиолокатором? (Ответ: а) 0,22; б) 0,47; в) 0,75.)

15.Два бомбардировщика преодолевают зону ПВО. Вероятность того, что будет сбит первый бомбардировщик, равна 0,7, второй - 0,8. Найти вероятность: а) уничтожения одного бомбардировщика; б) поражения двух бомбардировщиков; в) промахов. (Ответ: а) 0,38; б) 0,56; в) 0,06.)

16.Стрелок произвел четыре выстрела по удаляющейся от него цели, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена: а) четыре раза; б) три раза; в) не менее трех раз. (Ответ: а) 0,084; б) 0,302; в) 0,386.)

17.Первый рабочий изготавливает 40 % изделий второго сорта, а второй - 30 %. У каждого рабочего взято наугад по два изделия. Какова вероятность того, что: а) все четыре изделия - второго сорта; б) хотя бы три изделия второго сорта в) менее трех изделий - второго сорта. (Ответ: а) 0,0144. б) 0,1248; в) 0,8752.)

18.При некоторых определенных условиях вероятность сбить самолет противника из первого зенитного орудия равно 0,4, из второго - 0,5. Сделано по одному выстрелу. Найти вероятность того, что: а) самолет уничтожен двумя снарядами; б) самолет поражен хотя бы одним снарядом; в) ни один снаряд не попал в цель. (Ответ: а) 0,2; б) 0,7; в) 0,3.)

19.Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0,2, второго - 0,3. Имеется по два билета каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграют: а) три билета; б) не менее трех билетов; в) менее трех билетов. (Ответ: а) 0,0456; б) 0,0492; в) 0,9508.)

20.Три команды спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами обществаВ. Вероятности выигрышей первой, второй и третьей команд из обществаА у соответствующих команд из обществаВ равны 0,7; 0,6; 0,4. Команды провели по одной встрече. Какова вероятность того, что команды обществаА выиграют: а) две встречи; б) хотя бы две встречи; в) три встречи? (Ответ: а) 0,436; б) 0,604; в) 0,168.).

21.Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,7, вторым - 0,5. Найти вероятность того, что цель будет поражена: а) двумя стрелками; б) хотя бы одним стрелком; в) только одним стрелком. (Ответ: а) 0,35; б) 0,85; в) 0,5.)

22.В коробках находятся детали: в первой - 20, из них 13 стандартных; во второй - 30, из них 26 стандартных. Из каждой коробки наугад берут по одной детали. Найти вероятность того, что: а) обе детали окажутся нестандартными; б) одна деталь нестандартная; в) обе детали стандартные. (Ответ: а) 0,4667; б) 0,39; в) 0,5633.)

23.Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что

27

первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй - 0,2 и третий - 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены выйдут из строя: а) не менее двух станков; б) два станка; в) три станка. (Ответ: а) 0,098; б) 0,092;

в) 0,006.)

24.В ящике 50 % деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 % - на заводе

№2 и 30 % - на заводе № 3. Наугад взято три детали. Найти вероятность того, что: а) все три детали - с завода № 1; б) две детали - с завода № 1; в) все три детали - с разных заводов. (Ответ: а) 0,125; б) 0,125; в) 0,03.)

25.Для аварийной сигнализации установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,9, второй - 0,7. Найти вероятность того, что при аварии: а) сработают оба сигнализатора; б) не сработает ни один сигнализатор; в) сработает хотя бы один сигнализатор. (Ответ: а) 0,63; б) 0,03; в) 0,97.)

26.На двух станках обрабатываются однотипные детали. Появление бракованной детали для станка № 1 составляет 3 %, для станка № 2 - 4 %. С каждого станка взяли по одной детали. Найти вероятность того, что: а) обе детали стандартные; б) одна деталь стандартная; в) обе детали нестандартные. (Ответ: а) 0,9312; б) 0,0676; в) 0,0012.)

27.Три автомата изготавливают детали. Вероятность того, что деталь, изготовленная первым автоматом, - высшего качества, равна 0,9, для второго - 0,7, для третьего - 0,6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что из взятых деталей: а) все высшего качества; б) две высшего качества; в) хотя бы одна высшего качества. (Ответ: а) 0,378; б) 0,456; в) 0,988.)

28.Вычислительный центр, который должен производить непрерывную обработку поступающей информации, располагает двумя вычислительными устройствами. Известно, что вероятность отказа за некоторое время Т у каждого из них равна 0,2. Найти вероятность безотказной работы за времяТ. а) каждого устройства; б) хотя бы одного устройства; в) одного устройства. (Ответ: а) 0,64; б) 0,96; в) 0,32.)

29.Инженер выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками. Вероятности того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем справочниках, равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что интересующие инженера данные содержатся: а) только водном справочнике; б) только в двух справочниках; в) во всех трех справочниках.

(Ответ: а) 0,188; б) 0,452; в) 0,336.)

30.Вероятность безотказной работы за время Т блока, входящего в прибор, равна 0,85. Для повышения надежности устанавливается такой же резервный блок. Определить вероятность безотказной работы прибора за время Т с учетом резервного блока. (Ответ: 0,9775.)

Задание 5. В первой урнеК белых иL черных шаров, а во второй урнеМ белых иN черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образомР шаров, а из второй -Q шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

28

б) только три белых шара; в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров К, L, M, N, Р иQ по вариантам приведены в табл. 5.

Таблица 5

Вар.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

К

6

5

4

7

5

5

5

5

6

6

6

6

3

3

3

3

L

4

5

5

3

4

6

7

8

3

5

6

7

8

7

6

5

M

5

4

5

6

7

7

6

7

5

5

5

5

5

6

6

6

N

7

8

8

3

4

3

4

5

6

3

5

4

7

4

5

6

P

3

2

2

3

1

3

2

4

3

2

4

2

2

3

1

4

Q

2

2

3

1

4

2

2

1

3

2

1

3

3

3

4

1

Вар.

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

К

3

5

4

4

4

4

4

4

4

7

7

7

7

7

7

L

4

3

9

8

7

6

5

4

3

2

4

5

6

7

8

M

6

4

7

7

8

7

7

7

7

4

8

4

4

4

8

N

7

9

3

4

3

5

6

7

8

8

5

6

7

4

5

P

2

3

3

3

1

2

2

3

4

1

3

2

2

4

3

Q

2

3

3

3

1

2

2

3

4

1

3

2

2

4

3

Решение типового варианта

1. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) два белых шара; б) меньше чем два белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Решение. Испытанием будет случайное вынимание4-хшаров. Общее число возможных исходов определим как всевозможные сочетания по 4 из 11 шаров. Их число равно:

n = C4

=

11!

= 8 9 10 11 = 330

11

4! 7! 1 2 3 4

а) событие А – среди вынутых шаров 2 белых, а значит и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

m =C62 C52 =15 26 14 25 = 150.

Итак P(A) = 150330 =115 .

б) событие В – среди вынутых шаров меньше чем 2 белых, т.е. или один белый и тогда три черных (событиеВ1 ) или нет ни одного белого, значит все 4 шара

черные (событие В0). СобытиеВ0 илиВ1 несовместны, поэтому используем

формулу (2.1). Получаем

P(B) =P(B0 ) +P(B1) ,

29

m = C1

C3

= 6 4 5 = 60 , m

2

= C 4

= 5.

1

6

5

1 1 2

5

P(B)=

60

+

5

=

65

=

13 .

330

330

330

66

в) событие С – среди вынутых шаров хотя бы один белый, т.е. нас удовлетворяет следующие сочетания шаров:

1 белый и 3 черных (событие В1 ), 2 белых и 2 черных (событиеA2 ), 3 белых и 1 черных (событиеС1 ), 4 белых (событиеС2 ).

Имеем

P(C)= P(B1 )+ P(A2 )+ P(C1 )+ P(C2 ) .

Событие С определяется словами «хотя бы один» и приводит к громоздким

вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события С

изатем по формуле (2.6) вычислить вероятность искомого события.

С- среди вынутых шаров нет ни одного белого т.е. все 4 черные.

m1 =C54 = 5 ,P(С)= 3305 = 661 .P(C)= 1− P(С)= 1− 661 = 6665 .

Ответ: P(A) = 115 ,P(B)= 1366 ,P(C)= 6665 .

2. Три стрелка, независимо друг от друга, делают по выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого, второго и третьего соответственно равныp1 = 0,6,p2 = 0,7 ,p3 = 0,9 . Найти вероятности

следующих событий:

А – только второй стрелок попадет в мишень;

В– только третий стрелок промахнется;

С– только один стрелок попадет в мишень; D – хотя бы один стрелок попадет;

E – хотя бы один промахнется;

F – не более2-хстрелков попадут;

G – не менее2-хстрелков промахнутся;

Решение. Испытанием будет выстрел трех стрелков по мишени.p1 - первый стрелок попал в мишень;

p2 - второй стрелок попал в мишень;p3 - третий стрелок попал в мишень;

p1 = 1− p1 - первый стрелок не попал в мишень;p2 = 1− p2 - второй стрелок не попал в мишень;p3 = 1− p3 - третий стрелок не попал в мишень;

30

studfiles.net

Вариант 17

1.17. Сколькими способами можно выбрать два карандаша и три ручки из пяти различных карандашей и пяти различных ручек?

(Ответ: 100)

2.17. На десяти одинаковых карточках написаны различные числа от 0 до 9. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся стоящими рядом.

(Ответ: 0,056)

3.17. Первый рабочий изготавливает 40% изделий второго сорта, а второй – 30%. У каждого рабочего взято наугад  по два изделия. Какова вероятность того, что:

а) все четыре изделия – второго сорта;

б) хотя бы три изделия второго сорта;

в) менее трех изделий – второго сорта.

(Ответ: а) 0,0144; б) 0,1248; в) 0,8752.)

4.17. В телевизионном ателье имеется 2 кинескопа первого типа и 8 второго типа. Вероятность выдержать гарантийный срок для кинескопов первого типа равна 0,9, а для второго типа – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) взятый наугад кинескоп выдержит гарантийный срок;

б) взятый наугад кинескоп, выдержавший гарантийный срок, первого типа.

(Ответ: а) 0,66; б) 0,2727.)

5.17. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Найти вероятность того, что сообщение из 10 знаков:

а) будет искажено;

б) содержит три искажения;

в) содержит не более трех искажений.

(Ответ: а) 0,3487; б) 0,0574; в) 0,9872.)

6.17. Вероятность отклонений от принятого стандарта при штамповке клемм равна 0,02. Найти вероятность наличия в партии из 200 клемм от 70 до 80 клемм, не соответствующих стандарту.

(Ответ: 0.)

7.17. Найти закон распределения указанной дискретной СВ Х  и ее функцию распределения F(Х). Вычислить математическое ожидание M(x), дисперсию D(Х)  и среднее квадратическое отклонение G(X). Построить график функции распределения F(X). Вероятность отказа прибора за время испытания на надежность равна 0,2; СВ Х – число приборов, отказавших в работе, среди пяти испытываемых.

(Ответ: M(X) = 1; D(X) = 0,8.)

8.17. Дана функция распределения F(x) СВ Х. Найти плотность распределения вероятностей f(x), с математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и вероятность попадания СВ Х на отрезок [a,b]. Построить графики функций F(x) и f(x).

(Ответ: )

9.17. Трамваи данного маршрута идут с интервалом в 5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через 1 мин после ухода предыдущего трамвая, но не позднее чем за 2 мин до отхода следующего трамвая?

(Ответ: 0,4.)

10.17. Математическое ожидание количества выпадающих в течение года в данной местности осадков составляет 60 см. Определить вероятность того, что в этой местности осадков выпадет не менее 180 см.

(Ответ: не более 0,3333.)

ischanow.ru

TViMS

1.4. Условная вероятность. Независимость событий

21

P (A) = P (A1A2A3) = 0,8 · 0,9 · 0,6 = 0,432;

2)событие

A = {2 студента сдали зачёт},

¯ ¯ ¯

P (B) = P (A1A2A3) + P (A1A2A3) + P (A1A2A3) =

=0,8 · 0,9 · (1 − 0,6) + (1 − 0,8) · 0,9 · 0,6 +

+0,8 · (1 − 0,9) · 0,6 =

=0,768;

3)событие

C = {хотя бы один студент сдал зачёт},тогда

¯

C = {ни один студент не сдал зачёт},

¯

P (C) = 1 − P (C) = 1 − 0,2 · 0,1 · 0,4 = 0,992.

Задание для индивидуальной работы 1

1.1Сколько ¾слов¿ можно получить, переставляя буквы в слове: а) пиар, б) университет?

1.2Руководитель должен составить рабочую группу из трёх человек. Сколько таких групп можно составить из 10 человек?

1.3Сколькими способами можно распределить 15 видов товаров по трём магазинам, если в первый магазин нужно доставить 8, во второй 3, а в третий 4 вида товара?

1.4В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли 4 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выйдет на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут на четвёртом этаже.

1.5В группе спортсменов 8 волейболистов и 2 баскетболиста. Из нее случайным образом выбраны три спортсмена. Найти вероятность того, что все выбранные спортсмены окажутся волейболистами.

1.6Из букв разрезной азбуки составлено слово карусель. Карточки с отдельными буквами тщательно перемешивают, затем наугад вытаскивают несколько карточек и раскладывают их в порядке извлечения. Какова вероятность получения при этом слов: а) ¾рука¿, б) ¾карусель¿?

22

Глава 1. Случайные события

1.7Из девяти телевизоров два бракованные. Найти вероятность того, что среди взятых наугад четырех телевизоров, хотя бы один бракованный.

1.8В салоне сотовой связи проходит распродажа старых моделей телефонов. Известно, что каждые три из 10 проданных телефонов имеют дефекты, требующие дальнейшего ремонта. Случайным образом приятели по дешевке решили купить 4 телефона. Какова вероятность того, что они не потребуют ремонта?

1.9В запасе ремонтной мастерской 9 мониторов ¾Samsung¿, пять из них уже отремонтировали. Определить вероятность того, что среди выбранных наугад четырех мониторов два окажутся отремонтированными?

1.10Десять студентов условились ехать определенным рейсом электропоезда с 10 вагонами, но не договорились о номере вагона. Какова вероятность того, что ни один из них не встретится с другим, если возможности в размещении студентов по вагонам равновероятны?

1.11Из колоды карт (52 листа) наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что: а) среди них окажется ровно один туз; б) среди них окжется хотя бы один туз; в) это будут тройка, семёрка, туз (в любом порядке).

1.12Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет (появится) а) 4 раза, б) ни разу, в) хотя бы один раз.

1.13В семье четверо детей. Какова вероятность того, что: а) все они мальчики; б) один мальчик, а остальные девочки; в) два мальчика и две девочки. Считать вероятность рождения девочки 0,49, а мальчика 0,51.

1.14Определить вероятность того, что серия на удачу выбраной облигации не содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001.

1.15Буквенный замок содержит на общей оси 5 дисков, каждый из которых разделён на 6 секторов с различными нанесёнными на них буквами. замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определённое положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открыть замок, если установлена произвольная комбинация букв.

1.4. Условная вероятность. Независимость событий

23

1.16На заыводе изготавливают магнитолы, 85% из которых высшего сорта. Какова вероятность того, что из трёх на угад выбраных магнитол высшего сорта будут: а) три магнитолы; б) хотя бы одна магнитола; в) не более одной магнитолы?

1.17В организации имеется три компьютера, находящихся на гарантийном обслуживании. Вероятности выхода из стпоя в течение гарантийного срокакаждого из них соответственно равны: 0,25; 0,2; 0,1. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя: а) не менее двух компьютеров; б) ни одного компьютера; в) хотя бы один компьютер?

1.18В первом ящике 20 деталей, 15 из них стандартные, во втором ящике 30 деталей, 25 из них стандартные.Из каждого ящика наугад берут по одной детали. Какова вероятность того, что: а) обе детали будут стандартными; б) хотя бы одна деталь стандартная; в) обе детали нестандартные?

1.19При одном цикле обзора трёх радиолокационных станций, следящих за космическим кораблём, вероятности его обнаружения соответственно равны: 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятнсть того, при одном цикле обзора корабль будет обнаружен: а) тремя станциями; б) не менее чем двумя станциями; в) ни одной станцией.

1.20Вычислительная машина состоит из четырёх блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого блока равна 0,4, второго 0,5, третьего 0,6, четвёртого 0,4. Найти вероятность того, втечение времени Т проработают: а) все четыре блока; б) три блока; в) не менее трёх блоков.

1.21Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества равна 0,7, вторым 0,8, третьим 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных у каждого рабочего. Какова вероятность того, что высшего качества будут: а) все подшипники; б) два подшипника; в) хотя бы один подшипник?

1.22На сборку поступают детали с трех станков с ЧПУ. Первый станок дает 20 %, второй 30 %, третий 50 % однотипных деталей, поступающих на сборку. Найти вероятность того, что из трех наугад взятых деталей: а) три с разных станков; б) три с третьего станка; в) две с третьего станка.

24

Глава 1. Случайные события

1.23Первый станок-автоматдает 1 % брака, второй 1,5 %, а третий 2 %. Случайным образом отобрали по одной детали с каждого станка. Какова вероятность того, что стандартными окажутся: а) три детали; б) две детали; в) хотя бы одна деталь?

1.24В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна: 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включены: а) два электродвигателя; б) хотя бы один электродвигатель; в) три электродвигателя.

1.25Два бомбардировщика преодолевают зону ПВО. Вероятность того, что будет сбит первый бомбардировщик, равна 0,7, второй 0,8. Найти вероятность: а) уничтожения одного бомбардировщика; б) поражения двух бомбардировщиков; в) промахов.

1.26Стрелок произвел четыре выстрела по удаляющейся от него цели, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена: а) четыре раза; б) три раза; в) не менее трех раз.

1.27Первый рабочий изготавливает 40 % изделий второго сорта, а второй 30 %. У каждого рабочего взято наугад по два изделия. Какова вероятность того, что: а) все четыре изделия второго сорта; б) хотя бы три изделия второго сорта; в) менее трех изделий второго сорта.

1.28При некоторых определенных условиях вероятность сбить самолет противника из первого зенитного орудия равна 0,4, из второго 0,5. Сделано по одному выстрелу. Найти вероятность того, что: а) самолет уничтожен двумя снарядами; б) самолет поражен хотя бы одним снарядом; в) ни один снаряд не попал цель.

1.29Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки: А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в один ряд он получит слово МАТЕМАТИКА?

1.30Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй 0,2 и третий 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены выйдут из строя: а) не менее двух станков; б) два станка; в) три станка.

1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

25

1.5Формула полной вероятности. Формула Байеса

Для удобства изложения материала рассмотрим следующий пример.

Пример 11. Имеется три одинаковые урны: в первой урне два белых и один черный шар; во второй три белых и один черный; в третьей два белых и два черных. Некто выбирает наугадодну из урн и вынимает из нее один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый?

Проведение опыта возможно только в условиях исключающих друг друга гипотез (в нашем примере это случайный выбор любой из трех урн):

h2, h3, . . . , Hn (HiHj = при i 6= j).

(1.13)

Гипотезы составляют полную группу несовместных событий с известными вероятностями появления

P (h2), P (h3), . . . , P (Hn),

(Hi · Hj = , i =6 j, h2 + . . . + Hn = Ω).

Рассматривается некоторое событие A, которое может появиться только вместе с одной из гипотез (1.13). Условные вероятности события A по каждой из гипотез заданы

P (A/h2), P (A/h3), . . . , P (A/Hn).

Задача состоит в том, чтобы вычислить вероятность события A. Для этого представим A как сумму n несовместных событий:

n

X

A = h2A + h3A + . . . + HnA = HiA.

i=1

По правилу сложения вероятностей несовместных событий получаем

n

X

P (A) = P (HiA),

i=1

а по правилу умножения

P (HiA) = P (Hi)P (A/Hi).

Откуда окончательно имеем

n

X

(1.14)

P (A) = P (Hi)P (A/Hi).

i=1

P (A)

26

Глава 1. Случайные события

Таким образом, безусловная вероятность события A в опыте с ги-

потетическими условиями вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе. Выражение (1.14) называется формулой полной вероятности. Она применяется во всех случаях, когда опыт со случайным исходом распадается на два этапа: на первом учитываются условия опыта, а на втором его результат.

Иногда интересует, как перераспределятся вероятности гипотез после того, как событие A уже произошло: P (Hj /A) . По теореме умножения

P (AHj ) = P (A)P (Hj /A) = P (Hj )P (A/Hj ),

P (Hj /A) = P (Hj )P (A/Hj ).

Подставляя в знаменатель формулу полной вероятности, получим формулы Байеса:

P (Hj /A) =

P (Hj )P (A/Hj )

.

(1.15)

n

Pi=1 P (Hi)P (A/Hi)

Пример 12. В цехе 3 станка штампуют детали одного вида. Производительность первого станка в два раза больше второго, а третьего в 2 раза меньше второго станка. Вероятность брака для первого станка равна 0,05, для второго 0,03, для третьего 0,01. Изготовленные детали складываются в один ящик. Найти вероятность того, что:

а) наугад взятая из ящика деталь бракованная;

б) бракованная деталь изготовлена вторым станком.

Решение. а) пусть событие A = {деталь бракованная}.

h2 = {деталь изготовлена первым станком},

h3 = {деталь изготовлена вторым станком},

h4 = {деталь изготовлена третьим станком}. Производительности станков относятся как 2x : x : x/2, тогда

2x + x + x2 = 1;72 x = 1; x =27 ;

Вероятности того, что деталь изготовлена первым, вторым или третьим станками будут равны

P (h2) =

4

, P (h3) =

2

, P (h4) =

1

.

7

7

7

1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

27

Условные вероятности

P (A/h2) = 0,05; P (A/h3) = 0,03; P (A/h4) = 0,01.

Тогда из (1.14) следует, что

P (A) = 47 · 0,05 +27 · 0,03 +17 · 0,01 = 0,0385.

б) по формуле Байеса (1.15) получаем:

P (h3/A) =

P (h3)P (A/h3)

=

72 · 0,03

= 0,22.

P (A)

0,0385

Задания для индивидуальной работы 2

2.1Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80

2.2Приборы одного наименования изготавливаются двумя заводами. Первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство, второй 1/3. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом, равна 0,9; изготовленного вторым заводом 0,85. Определить надежность прибора, поступившего на производство.

2.3Вероятности того, что параметры одного из трех блоков радиостанции (антенного устройства, приемника или передатчика) выйдут за время полета самолета из допусков, равны соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Если из поля допусков вышли параметры одного блока, связь не будет установлена с вероятностью 0,25, если двух блоков, то 0,4, если трех, то 0,5. Найти вероятность того, что связь не будет установлена.

2.4Вероятности того, что за время работы ЭВМ произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных блоках, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных блоках соответственно равны 0,8; 0,9; 0,7. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой не будет обнаружен. Ещё одна задача.

28

Глава 1. Случайные события

2.5На двух автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в два раза больше, чем второго, и что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,9, а на втором 0,84. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется высшего качества.

2.6На распределительной базе находятся однотипные детали, изготовленные на двух заводах. Среди них 70

2.7Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов, для этих партий соответственно равна: 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

2.8Система обнаружения самолета противника из-запомех может давать ложные показания о наличии цели с вероятностью 0,05, а при наличии цели система обнаруживает ее с вероятностью 0,9. Вероятность появления самолета в зоне работы системы равна 0,25. Поступил сигнал о наличии цели. Определить вероятность ложной тревоги.

2.9Три самолета производят одиночное бомбометание по некоторой цели. Каждый самолет сбрасывает одну бомбу. Вероятности попадания для первого, второго, третьего самолетов соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3. В результате в цель попало 2 бомбы. Найти вероятность того, что в цель попали бомбы, сброшенные с первого и второго самолетов.

2.10В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 хорошо, 2 посредственно, 1 плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на 20 вопросов, хорошо на 16, посредственно на 10, плохо на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен: а) отлично, б) плохо.

2.11На стрельбище 10 мишеней первого типа и 15 мишеней второго типа. Вероятность поражения мишени первого типа равна 0,75, а мишени второго типа 0,9. Найти вероятность того, что: а) будет поражена наугад выбранная мишень; б) если мишень поражена, то выстрел производился по мишени второго типа.

1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

29

2.12Два завода выпускают телевизоры. Первый из них делает 70 % всей продукции, второй 30 %, причем 90 % продукции первого завода и 85 % второго высшего качества. Найти: а) вероятность того, что наугад взятый телевизор высшего качества; б) какова вероятность того, что он изготовлен на первом заводе?

2.13В первой бригаде 5 рабочих имеют стаж работы от одного года до

трех лет, 3 рабочих от трех до пяти лет и 4 рабочих свыше 5 лет. Во второй бригаде 6 рабочих имеют стаж от одного до трех лет, 3 рабочих от трёх до пяти лет и 5 рабочих свыше пяти лет. Из первой бригады во вторую переведён один рабочий. Найти вероятность того, что наугад взятыё из нового состава второй бригады рабочий имеет стаж менее пяти лет.

2.14Надежность автомобиля, собранного из высококачественных деталей, равна 0,95. Если автомобиль собирают из деталей серийного производства, его надежность равна 0,6. Высококачественные детали составляют 30% общего числа деталей. Найти вероятность того, что наугад взятый автомобиль безотказно проработает в течение установленного времени. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

2.15Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0,5, 0,2 и 0,3 к одному из трех типов. Для каждого типа индикатора вероятности подачи сигнал при нарушении нормально работы линии равны соответственно: 0,9; 0,8; 0,6. Найти вероятность получения сигнала от индикатора. Найти вероятность того, что индикатор первого типа.

2.16В первом цехе 2 станка были в эксплуатации 5 лет, 3 станка четыре года и 5 станков менее трех лет. Во втором цехе 3 станка проработали 5 лет, 3 станка четыре года и 6 станков менее трех лет. После реконструкции один из станов цеха номер 2 оказался в цехе номер 1. Найти вероятность того, что каждый из двух станков, выбранных наугад в цехе 1 после реконструкции, проработал не менее трех лет.

2.17Вероятности подключения абонентов к каждой из трех AT C соответственно равны: 0,2, 0,4, 0,4. Вероятность соединения абонентов в случае подключения для первой AT C 0,25, для второй 0,4 для третьей 0,35. а) Найти вероятность соединения абонентов. б) Соединение произошло. Найти вероятность того, что подключилась третья AT C.

30

Глава 1. Случайные события

2.18В отделе A института работают 5 инженеров и 3 старших инженера, а в отделе B 8 инженеров и 2 старших инженеров. Из отдела A в отдел B перевели одного сотрудника. Найти вероятность того, что 3 сотрудника, наугад выбранные из нового состава отдела A, являются инженерами.

2.19На конвейер поступают одинаковые детали со станков A и B. Вероятность брака для станка A равна 0,06, для станка B 0,02. Со станка A поступает в 4 раза больше деталей, чем со станка B. Найти вероятность того, что взять наугад деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она поступила со станка A.

2.20Вероятность повреждения изделия при погрузке на автомашину равна 0,04, при транспортировке на машине 0,02,а при разгрузке 0,01. Найти вероятность доставки изделия: а) с повреждением хотя бы по одной из указанных причин: б) с повреждением вследствие двух причин.

2.21Вероятность повреждения электросети на участке A протяженностью 11 км 0,2, на участке B протяженностью 8 км 0,3, на участке C протяженность 6 км 0,15. а) Найти вероятность повреждения электролинии. б) Произошло повреждения электролинии. Найти вероятность того, что это повреждение на участке C.

2.22В первой бригаде токарей 2 рабочих имеют первый разряд, 2 рабочих второй и 5 рабочих четвертый. Во второй бригаде один токарь имеет первый разряд, 4 токаря третий и 2 токаря четвертый. Найти вероятность того, что рабочий, наугад выбранный из нового состава второй бригады, имеет разряд не менее второго.

2.23Имеются 3 одинаковых урны, в первой из которых 5 зеленых и 3 синих шара, во второй 2 зеленых и 4 синих шара, в третьей 1 зеленый и 3 синих. а) Найти вероятность того, что шар, взятый из наугад выбранной урны, будет зеленным. б) Наугад взятый шар оказался зеленым. Найти вероятность того, что он из первой урны.

2.24Двадцать пять экзаменационных билетов содержат по два неповторяющихся вопроса. Студент может ответить только на 40 вопросов. а) Найти вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из одного билета и на дополнительный вопрос из другого билета. б) Студент сдал экзамен. Найти вероятность того, что он ответил на оба вопроса билета.

studfiles.net


Смотрите также